Algebra: septiembre 2015

Algebra

Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín álgebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.

Este origen etimológico permitió que, en tiempos pasados, se conociera como álgebra al arte focalizado en la reducción de huesos que estaban dislocados o quebrados. Este significado, de todas maneras, ha caído en desuso.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un element

Leyes de los exponentes.

Leyes de los exponentes

Ley	Ejemplo
x¹ = x	6¹ = 6
x⁰ = 1	7⁰ = 1
x^-1 = 1/x	4^-1 = 1/4

x^mxⁿ = x^m+n	x²x³ = x²⁺³ = x⁵
x^m/xⁿ = x^m-n	x⁴/x² = x^4-2 = x²
(x^m)ⁿ = x^mn	(x²)³ = x^2×3 = x⁶
(xy)ⁿ = xⁿyⁿ	(xy)³ = x³y³
(x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ	(x/y)² = x² / y²
x^-n = 1/xⁿ	x^-3 = 1/x³

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x¹ = x, x⁰ = 1 y x^-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5

... etc...

5² 1 × 5 × 5 25

5¹ 1 × 5 5

5⁰ 1 1

5^-1 1 ÷ 5 0,2

5^-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04

... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

Ejemplo: potencias de 5
	... etc...
5²	1 × 5 × 5	25
5¹	1 × 5	5
5⁰	1	1
5^-1	1 ÷ 5	0,2
5^-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	... etc...

La ley que dice que x^mxⁿ = x^m+n

En x^mxⁿ, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x²x³ = (xx) × (xxx) = xxxxx = x⁵

Así que x²x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵

La ley que dice que x^m/xⁿ = x^m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x^4-2 = x⁴/x² = (xxxx) / (xx) = xx = x²

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x⁰=1 :

Ejemplo: x²/x² = x^2-2 = x⁰ =1

La ley que dice que (x^m)ⁿ = x^mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²

Así que (x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

La ley que dice que (xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³

La ley que dice que (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0ⁿ = 0

Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)

Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 0⁰

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0⁰ podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x⁰ = 1, así que ... 0⁰ = 1

0ⁿ = 0, así que ... 0⁰ = 0

Suma,Resta,Multiplicación y División de Fracciones.

Ejemplos:

¿Como resolver este tipo de problemas?

Suma de Fracciones con el mismo denominador

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Suma de Fracciones de diferentes denominadores

$\frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{ad + bc}{cd}$

Resta de Fracciones con el mismo denominador

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Resta de Fracciones de diferentes denominadores

$\frac{a}{c} - \frac{b}{d} = \frac{ad - bc}{cd}$

Multiplicación de Fracciones

$\frac{a}{c} * \frac{b}{d} = \frac{ab}{cd}$

División de Fracciones

$\frac{a}{c} / \frac{b}{d} = \frac{a}{c} * \frac{d}{b} = \frac{ad}{cb}$

1. Denominadores iguales

$\frac{7}{4} + \frac{11}{4}$

Cuando tenemos los dos denominadores con el mismo valor, el resultado se obtiene copiando el denominador y sumando los numeradores.

Por ejemplo,

$\frac{7}{4} + \frac{11}{4} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4}$ $\frac{17}{3} - \frac{7}{3} = \frac{17 - 7}{3} = \frac{10}{3}$

2. Denominadores diferentes

$\frac{7}{24} + \frac{10}{32}= \frac{7}{2^3*3}+\frac{10}{2^5}=\frac{7*3+10*2^2}{2^3}=\frac{21+40}{8}=\frac{61}{8}$

Si los denominadores son diferentes, entonces se utiliza el método del mínimo común múltiplo para encontrar el denominador de la fracción resultante.

3. Fraccion de un número

Se debe de multiplicar ese número por el númerador y se divide el resultado por el denominador.

$\frac{2}{5} * 3 = \frac{6}{5}$

4. Producto de dos Fracciones

Se deben multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

$\frac{1}{3} * \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

5. División de Fracciones

En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.

$\frac{3}{5} / \frac{4}{3} = \frac{3}{5} * \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$

Simplificación de Fracciones

Las fracciones se pueden reducir o simplificar; y el resultado sería una fracción equivalente. Por ejemplo, $\frac{3}{6}$ se puede simplificar dividiendo por un numero que sea divisible por 3 y 6; en este caso, el 3.

$\frac{3}{6} / \frac{3}{3} = \frac{1}{2}$ Por lo tanto, $\frac{3}{6}$ y $\frac{1}{2}$ son fracciones equivalentes.

Para encontrar fracciones equivalentes, se divide o se multiplica el denominador y numerador por un mismo numero que no sea 0.

Ejemplo:

$\frac{1}{4} * \frac{3}{3}= \frac{3}{12}$

$\frac{1}{4} y \frac{3}{12}$ son fracciones equivalentes.

NOTA: Una fracción que tenga 0 de denominador es un número indefinido.

Expresiones algebraicas.

¿Que es?

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplos:

Expresiones algebraicas de primer grado, significa que el mayor exponente existente es 1, aquí van algunas:

1) 5x -3y = 9
2) 10x +17 = 25
3) (2x-4y) . 10 = 100
4) az -2az = 70
5) 9m - 3a = 9

Expresiones algebraicas de segundo grado significa que el mayor exponente que aparece en ellas ha de ser 2:

1) 5x² - 10x +9=0
2) 6x²y - 7xy +4= 3
3) 90a² - a -9 =0
4) x²y /5xy = 30
5) (a+b)² = 25

Exponente positivo (n>0)	0ⁿ = 0
Exponente negativo (n<0)	¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0	Ummm ... ¡lee más abajo!

	x⁰ = 1, así que ...	0⁰ = 1
	0ⁿ = 0, así que ...	0⁰ = 0

sábado, 19 de septiembre de 2015

Algebra

Leyes de los exponentes.

Leyes de los exponentes

Explicaciones de las leyes

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0)0n = 0 Exponente negativo (n<0)¡No definido! (Porque dividimos entre 0) Exponente = 0Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado": x0 = 1, así que ...00 = 1 0n = 0, así que ...00 = 0

Suma,Resta,Multiplicación y División de Fracciones.

Suma de Fracciones con el mismo denominador

Suma de Fracciones de diferentes denominadores

Resta de Fracciones con el mismo denominador

Resta de Fracciones de diferentes denominadores

Multiplicación de Fracciones

División de Fracciones

1. Denominadores iguales

2. Denominadores diferentes

3. Fraccion de un número

4. Producto de dos Fracciones

5. División de Fracciones

Simplificación de Fracciones

Expresiones algebraicas.

La ley que dice que x^mxⁿ = x^m+n

En x^mxⁿ, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x²x³ = (xx) × (xxx) = xxxxx = x⁵

Así que x²x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵

La ley que dice que x^m/xⁿ = x^m-n

Ejemplo: x^4-2 = x⁴/x² = (xxxx) / (xx) = xx = x²

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x⁰=1 :

Ejemplo: x²/x² = x^2-2 = x⁰ =1

La ley que dice que (x^m)ⁿ = x^mn

Ejemplo: (x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²

Así que (x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

La ley que dice que (xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Ejemplo: (xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³

La ley que dice que (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ

Ejemplo: (x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³

Exponente positivo (n>0) 0ⁿ = 0

Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)

Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 0⁰

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0⁰ podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x⁰ = 1, así que ... 0⁰ = 1

0ⁿ = 0, así que ... 0⁰ = 0